公务员考试讲义-数字运算(三）

知识点6：和定最值

它一般分为三种题型：同向，逆向，混合类，这三种难度是逐层递进的，但解题的核心不变，即：若要使某个量最大，其余量应尽可能小。反之，要使某个量最小，其余量应尽可能大。

1．同向和定最值

1.1问法：“求最大值的最大值”或“求最小值的最小值”

1.2求解方法：列举法

例题1．现有26株树苗，要分植于5片绿地上，若要使每片绿地上分得的树苗数各不相同，则分得树苗最多的绿地最多可以分得几株树苗？

【志远快解】：要求最大量的最大值，并且量各不相同，就应该使其他值尽可能的小，所以最小就应该为1棵，其次为2棵，3棵，4棵，共10棵，所以树苗最多的绿地最多可以分得26-10=16株。

例题2.6个数的和为48，已知各个数各不相同，且最大的数是11分，则最小数最少是多少？

要求最小量的最小值，并且量各不相同，就该使其他值尽可能的大，所以最大为11分，其次为10分，9分，8分，7分，共45分，所以最小数的最少为48-45=3分。

2．逆向和定最值

2.1．问法：“求最大值的最小值”或“求最小值的最大值”

2.2．求解方法：方程法

例题3．某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门，每个部门分得的人数不一样，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？

【志远快解】：要求最大量的最小值，就应该使其他值尽可能的大，但不超过最大值。设行政部门分得的毕业生人数最少为X，则与X想接近的值就为x-1，依次x-2……到x-6，把这几个数相加等于65，所以得到方程：x+x-1+x-2+x-3+x-4+x-5+x-6=65，求解得x=12……2，剩余的两个人只能加在第一多的和第二多的两个部门，否则与题意就不符合，所以行政分得的人数至少为12+1=13人。

例题4：现有26株树苗，要分植于5片绿地上，若要使每片绿地上分得的树苗数各不相同，则分得树苗最少的绿地最多可以分得几株树苗？

【志远快解】：要求最小量的最大值，就应该使其他值尽可能的小，但要大于最小值，所以体现的是一个接近的核心，设分得树苗最少的绿地最多可以分得X株树苗，第二小的就应该为X+1，依次X+2……X+4，所以列出方程X+X+1+X+2+X+3+X+4=26，X=3……1，剩余的1棵应该加在第一多的那块地上，如果加在最少的绿地上，则与前一棵的数目就是一样的，与题意不符合，所以，分得最少的绿地最多可以分得3株。

3．混合极值问题：

3.1．问法：“求第N大的数的最大值”或“求第N大的数的最小值”

3.2．求解方法：同时考虑同向极值和逆向极值

例题5．100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样。那么，参加人数第四多的活动最多有几人参加？

【志远快解】：求第四多的活动最多有几人参加。以第四多为分界点，分界点之前是求最大量的最大值，所以属于同向和定最值，用列举法，最少的为1，依次为2，3，4；再从分界点之后来看，是求最小量的最大值，属于逆向和定最值，用列方程的方法求解，设第四多的为x，依次就为x+1，x+2，x+3，列等式x+x+1+x+2+x+3=100-（1+2+3），x=22。所以第四多的活动最多有22人。

例题．现有26株树苗，要分植于5片绿地上，若要使每片绿地上分得的树苗数各不相同，则分得树苗第二多的绿地最少可以分得几株树苗？

【志远快解】：求第二多的绿地最少分得几株树苗，以第二多为分界点，分界点之后是求最大量的最大值，所以属于同向和定最值，用列举法，最少的为1，依次为2，3；再从分界点往前看，是求最小量的最大值，属于逆向和定最值，用列方程的方法求解，设第二多的为x，第一多就为x+1，列方程x+x+1=26-（1+2+3），x=9……1，剩余的1棵只能加在最多的那片绿地上，所以第二多的绿地最少可以分到9株。

知识点7：同余定理

同余在考试的时候也会经常性的出现，它一般都是与整除思想相结合的，在备考的过程中要分清楚同余的几种情况，同余特性经常会与中国剩余定理混淆，所以在备考时要抓住两者的区别点，避免考试时出错。

1．同余概念

两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于m同余。

例：21÷4余1，17÷4余1，所以17和21对于4同余。

2．同余特性

（1）余数的和决定和的余数

例：23、16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1。

（2）余数的差决定差的余数

例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以 23-16=7除以5的余数等于2，即两个余数的差3-1。

（3）余数的积决定积的余数

例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

（4）余数的幂决定幂的余数。

例1．求20122012÷5的余数。

一个2012除以5余2，根据余数的积决定积得余数，所以20122012÷5的余数和22012÷5的余数是一样的，又因为22012=16503，所以16÷5余1，所以20122012÷5的余数和1503÷5的余数一样，都为1。

例题1．已知a除以2余1，那么27a+20032除以2余几？（      ）

A．1             B．2          C．3             D．4

【志远快解】：答案A．27是2的倍数，所以27a是2的倍数，20032除以2余1，则27a+20032除以2余0+1=1。答案选择A。

例2．今天是星期六，请问再过2010天是星期几？再过20102010天是星期几？再过20122012天是星期几？（      ）

【志远快解】：2010除以7余1，故再过2010天是星期日。又根据余数的幂决定幂的余数，所以20102010除以7的余数与12010除以7的余数相同，因此20102010除以7的余数为1，所求为星期日。同理，根据余数的幂决定幂的余数，2012除以7余3，所以20122012除以7的余数与32012除以7的的余数相同，又因为3的平方为9，9除以7余数为2，32012=91006，所以最终的余数取决于21006 =8335 ×2=1335×2=2，即为2，所以所求为星期一。

例题3。商店里有6箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，商店剩下的一箱货物重（    ）千克？（      ）

A． 16　　　      B． 18            C． 19          D． 20

【志远快解】：答案D。和的余数等于余数的和。

采用这种方法的解题点也是：“一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍”。

首先：也是将6箱货物相加：15+16+18+19+20+31=119；

加后的结果除以3，即119÷3=39…2；此时和的余数等于2。

然后在15、16、18、19、20、31六个数中找除以3余2的数，这个数就是剩下来的没拿走的那个。

15÷3=5…0；          16÷3=5…1

18÷3=6…0；          19÷3=6…1

20÷3=6…2；          31÷3=10…1

这时将所有与数相加得：0+1+0+1+2+1=5；

                      5÷3=1…2；

运用和的余数等于余数的和，所以找到除以3余2的数，就是剩下来的那箱货物，即货物20千克是被剩下来的。因此，本题选D。

 [随堂练习一]

1．两个派出所某月内共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件？（      ）

A．48    B．60    C．72    D．96

2．某个月有五个星期六，已知这五个日期的和为85，则这个月中最后一个星期六是多少号？（      ）

A．10    B．17    C．24    D．31

3．张老师给幼儿园两个班的孩子分水果，大班每人分得5个橘子和2个苹果，小班每人分得3个橘子和2个苹果。张老师一共分发了135 个橘子和70个苹果，那么小班共有多少个孩子？（      ）

A．20    B．15    C．18    D．12

4．农业站有一批化肥，第一天卖出一半又多15吨，第二天卖出余下的一半多8吨，第三天卖出180 吨，正好卖完，这批化肥原来有（      ）吨。

5．有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。中午12点整时，电子钟既响铃又亮灯。求下一次既响铃又亮灯是下午几点钟？（      ）

A．2    B．3    C．5    D．7

6．某单位购进92箱桔子，每箱至少110个，至多138个，现将桔子数相同的作为一组，箱子数最多的一组至少有几箱？（      ）

A．3    B．4    C．5    D．6

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